对称关係 (对称关系判断)

对称关係

对称关係（symmetrical relation）是一种特殊的关係，指与自身的逆关係完全相同的那种关係。集合A上的二元关係R，对任何a，b∈A，当aRb时有bRa，用符号表示：R是A上的对称关係⇔∀a∀b(a∈A∧b∈A∧aRb→bRa)。当A上的R是对称关係时，称R在A上是对称的，或称A上的关係R有对称性。例如，数集中的关係I={〈x，y〉|x与y相等}，N={〈x，y〉|x与y不等}都是对称关係；而L={〈x，y〉|x小于y}不是对称关係，当A上的关係R是对称的时，它的补关係与逆关係都是对称的，且R=R^-1。

基本介绍

中文名：对称关係外文名：symmetrical relation所属学科：数学所属领域：集合论相关概念：二元关係、逆关係、集合等

对称的关係

亦你“具有对称性的关係”。对于类k中一个确定的关係R来说，类k中的任意两个个体x，y， 如果xRy真yRx就必真，则称关係R为类k中对称的关係（对称关係）， 如果xRy真yRx就必假， 则称关係R为类K中反对称的关係（反对称关係）；如果对于某些个体x，y， xRy真同时yRx也真， 而对于另外的个体x，y，xRy真时yRx却假，则称关係R为类k中非对称的关係（非对称关係）。例如，两条直线之间的平行关係、垂直关係、 两个数之间的相等关係等都是对称的关係；两个实数之间的大于关係、 小于关係等部是反对称的关係，两个实数之间的不大于关係， 不小于关係等则是非对称的关係， 这是因为由a不大于b， 并不能断定b是否不大于a。

对称性关係推理

对称性关係推理是指前提和结论都是具有对称性的关係判断的推理。 所谓对称性关係是指：当，且仅当对象a和b之间有一定关係时， 对象b和a之间也有这种关係。如，等于关係、某些亲属关係、同一关係、 同时关係，同地关係，全异关係等都属于对称性关係。 根据这些对称性关係进行推演的关係推理都是对称性关係推理。例如，数学里的“a=b， 所以，b=a，”就属于具有等于性的对称性关係推理。如，“a是b的兄弟，所以，b也是a的兄弟。”这就是表示某些亲属关係的对称性的关係推理。 又如，“李白和杜甫是同时代的人，所以， 杜甫和李白是同时代的人。”这是表示同时关係的对称性关係推理。对称性关係推理可以用如下的公式来表示：R(a，b)→R(b，a)。或者是：aRb，所以， bRa。在这里，R代表对称性关係，a和b分别为两类对象。 对称性关係推理的规则：如果判断R(a，b)真，那幺，R(b，a)也真。

关係判断

关係判断的定义

关係判断是断定对象与对象之间关係的简单判断。简单判断除了性质判断以外，还有关係判断，关係判断是断定对象与对象之间关係的判断。例如:①长江长于黄河；②郑州在洛阳与开封之间；③笑比哭好；④徐特立与毛泽东有师生关係。这四个判断都是关係判断。例①断定了“长江”与“黄河”之间有“长于”的关係；例②断定了“郑州”和“洛阳”、“开封”三者之间存在前者在后面二者之间的“在...之间”的关係；例③断定了“笑”与“哭”之间有“比....好”的关係；例④判定了“徐特立”与“毛泽东”之间有“师生关係”。关係判断和性质判断不同。性质判断是断定对象是否具有某种性质(即对象与性质之间的关係) 的判断，主项只有一个; 而关係判断却是断定对象与对象之间是否具有某种关係的判断，而关係总是存在于两个或两个以上的对象之间，因此，关係判断的对象就有两个或两个以上，即主项至少是两个。存在于两个对象之间的关係叫两项关係，存在于三个对象之间的关係叫三项关係，存在于三个以上对象之间的关係叫多项关係。

关係判断的组成

关係判断由三部分组成：关係者项、关係项、量项。关係者项。反映一定关係承担者的概念(或表示一定关係所联结的概念)，也就是关係判断的主项。如前述各例中的“长江"、“黄河’，、“郑州"、“开封"、“笑’’、“哭"、“徐特立"、“毛泽东’’。在关係判断中，关係者项至少有两个，也可以是三个或多个。在两项关係中，在前的关係者项叫关係者前项，在后的关係者项叫关係者后项。若有三个以上关係者项，则按先后次序可分别称之为第一、第二、第三……关係者项。通常用“a"、“b’’、“c”……表示。关係项。表示各关係者项之间的关係的概念，也就是关係判断的谓项。上述各例中的“长于"、“比……好”、“师生关係"、“在……之间”都是关係项，通常用“R"表示。量项(关係量项)。表示关係者项数量的概念。每一个关係者项都可以有量项。如“有的美国人高于所有中国入"。其中，“有的”“所有"都是关係者项的量项。

关係判断的结构式

根据上述关係判断的组成要素，我们就可以把具有两项关係的判断的结构式表示为；所有(有的)aR有的(所有)b。具体表达为四种基本形式。所有aR所有b；所有aR有的b；有的aR所有b；有的aR有的b。实际上，关係判断既有肯定形式，又有否定形式。例如“5大于3"是肯定关係判断。而“3不大于5”，就是否定关係判断。它否定了“3”对于“5’’具有“大于"的关係。这样，两项关係判断的基本形式应该还有另外几种。所有 所有b；所有 有的b；有的 有的b；有的 所有b。在关係判断中，如果关係者项表示的是一个或一类对象，量项可以省略。这样，二项关係判断可以写为：R(a、b)或aRb；一个三项的关係判断可写为：R(a、b，c)；

关係的分类

对象间的关係多种多样，因而关係判断中的关係也有多种多样。关係判断的逻辑性质取决子关係的性质。常见的有两种性质的关係：对称性关係（对称关係、反对称关係、非对称关係）；传递性关係（传递关係；反传递关係；非传递关係）。