完全平方公式 (完全平方公式变形公式及常见题型)

什么是完全平方公式？

完全平方公式是一种用于求解二次方程解的常用公式，也是数学中基础的公式之一。二次方程指的是形如ax2+bx+c=0的一元二次方程。

完全平方公式为：ax2+bx+c=0的解为 x = (-b±√(b2-4ac))/2a。其中√表示根号，±表示两个解。

完全平方公式的推导

完全平方公式的推导过程比较简单，一般通过配方法进行。即，根据二次方程的形式，将其变形为(x+p)2=q的形式，其中p和q为待求解的常数。

将(x+p)2展开后可以得到：x2+2px+p2=q。因此，二次方程ax2+bx+c=0可以变形为：a(x2+2px+p2-q)=0。若要使方程成立，需满足x2+2px+p2=q，即(x+p)2=q。解出x即可得到完全平方公式。

完全平方公式的应用

完全平方公式在数学和实际生活中都有广泛的应用。在数学上，它可以用于求解二次方程的解，从而求出二次曲线的顶点、焦距等重要参数。

在实际生活中，完全平方公式可以用于计算物体的面积、体积、长度等等。例如，要计算正方形的对角线长度，可以利用完全平方公式求解。将正方形对角线分成两段长度为x的线段，可以得到方程：2x2=边长2。根据完全平方公式即可求解得出x。

完全平方公式的拓展

除了一元二次方程外，完全平方公式还可以拓展到多元二次方程。例如，对于二元二次方程ax2+by2+2hxy+2gx+2fy+c=0，若其满足h2=ab，则可以将其化为：(x+ky)2+(y+hx+kf/g)2=q。其中k为任意常数，求解时与一元二次方程类似，将多元二次方程变形成(x+p)2+(y+q)2=q的形式，然后通过求解x和y即可得到解。

此外，完全平方公式还有其它拓展应用，如在微积分中求解函数的极值、计算概率统计中的方差等等，都与完全平方公式密不可分。