幂的定义及有关法则 (幂的定义及有关法则)

1、从导数和极限的定义出发，我将证明你们在本科微积分中会学到的一阶导数规则。

2、如果你想从头开始做一个苹果派，你必须先发明宇宙——卡尔-萨根大多数学生看到的微积分中的幂函数求导公式（Power Rule，下称幂法则），通常没有证明或只有部分证明。

3、事实情况是，学生从一个完整的证明中会学到更多的东西。

4、即使你觉得这些教科书中给出的证明已经足够，再多一个证明也无妨。

5、在这个证明中，我不仅将证明幂法则，还有：证明积法则介绍归纳法的证明证明链式法则介绍一点实分析证明使用的要素‍在这个证明中，我将只使用下面的“工具”：极限的定义导数的定义任何你在标准代数课程中学的东西包括指数法则和各种代数结构（整数、有理数和实数）的属性这些限制将使我无法使用对数的导数指数函数的导数或二项式定理我见过的大多数证明都至少使用了其中之一。

6、证明的结构‍我的证明将有以下结构：证明积规则证明n是整数的情况下，使用积规则和一些归纳法证明链式法则用链式法则证明n是有理数的情况证明n是一个无理数的情况，从而证明所有实数的幂法则积法则（The Product Rule）‍我们知道， x^4= x • x^3

7、如果我们知道如何求x和x^3的导数，以及两个函数的乘积的导数，我们就可以求x⁴的导数

20、首先，定义一个函数z(x)=f(x)g(x)

12、由于我们谈论的是任意函数，我们必须使用导数的定义。

13、可能没有什么能让你眼前一亮，在这种情况下，我们要寻找一些方法，以不同的形式重写表达式。

14、既然表达式中有一个f(x+h)和一个g(x+h)，我们就应该设法把f(x+h)-f(x)或g(x+h)-g(x)带入表达式中

16、在这种情况下，我们可以使用一个经典的技巧，即添加一个0

17、例如，我们可以把f(x+h)-f(x+h)加到分子中，这样就不会有任何变化

18、我们要把( f(x+h)g(x)-f(x+h)g(x))加到分子上，这时我们可以做代数：为了让证明更容易，我将分别处理每个极限，然后把它们放回一起

19、第一个极限是：第二个极限是：因此，我们已经证明了积法则，如下图所示：证明n是整数的情况‍有三种情况：n = 0n 0n 0如果我们证明每一种情况，我们就完成了这一部分

21、证明n0的情况如果我们使用导数的极限定义对x、x²、x³……求导，你可能会看到这些导数遵循一个简单的规律：幂法则。

22、证明n=0和n=1的情况是很简单的，因此，我们可能想尝试用归纳法证明

23、归纳法的证明要用归纳法证明什么，需要：证明一个基本情况（个例）并证明每个情况都能证明下一个情况（弱归纳法）或证明所有已证明的情况都能证明下一个情况（强归纳法）

24、强归纳法和弱归纳法是等价的，但我不能在这篇文章中讨论这些细节

26、在给你们展示了这个证明之后，我会试着给你们一个直观的感觉，为什么它是可行的

28、通常，弱归纳证明指的是步骤2中的情况n和n + 1，但我将使用n - 1和n。

29、用n + 1替换n会将表达式转换回传统形式。

31、归纳步骤在证明的这一部分，我们将证明，如果幂法则在n=m-1的情况下成立，那么m的情况也成立

32、这一部分我选择用m而不是n，因为我已经用n表示x的幂

33、如果幂法则在n=m-1时不成立，那么n=m的情况是否成立就不重要了，所以我们将假设幂法则在n=m-1时成立

34、归纳法的直观解释如果你不相信这个证明是有效的，那么请选择任何一个自然数（这个证明对你选择的任何数字都有效），但我将向你展示n=3的情况，你应该看到一般的模式

36、现在，我将在归纳步骤中向你展示n=3这一特定情况下的证明：如果你对n=2的情况不相信，那么我们可以重新使用归纳步骤中对n=2的特定情况的证明：我只对n=1的情况使用了幂法则，所以你应该相信幂法则对n=3（和n=2）的情况都有效

37、如果你碰巧是一个计算机科学家或程序员，你可能会认识到这是一个递归论证。

38、在许多情况下，归纳法和递归法都可以描述一些东西，但它们会向相反的方向发展。

39、证明n0的情况现在我们可以使用商法则来证明这种情况，但是积法则更容易记忆和使用。

40、相反，我们将使用以下事实：这些函数在x = 0处没有导数，所以我们不关心

41、我们可以取两边的导数，使用积法则，并求出导数：在这一点上，我们已经证明了所有整数的幂法则

42、证明链式法则用来证明积法则的方法是有效的，所以让我们试试类似的方法

43、由于我们想要的是h→0的情况，所以我们想要c-x→0，这相当于c→x，此外，x+h=c

44、把这些代入导数的定义：你可能意识到，当c接近x时，g(c)接近g(x)