分数裂项六种题型 (分数裂项六种题型规律?)
各位网友们好,相信很多人对分数裂项六种题型都不是特别的了解,因此呢,今天就来为大家分享下关于分数裂项六种题型以及六年级分数裂项公式大全的问题知识,还望可以帮助大家,解决大家的一些困惑,下面一起来看看吧!
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高中数学数列里常用的裂项方法
裂项法 裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.
裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的.
通项分解(裂项)如:
(1)1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
(2)1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
(3)1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
(4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
(5)
n·n!=(n+1)!-n!
[例1]
【分数裂项基本型】求数列an=1/n(n+1)
的前n项和.
解:an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
(裂项)
则
Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)(裂项求和)
=
1-1/(n+1)
=
n/(n+1)
[例2]
【整数裂项基本型】求数列an=n(n+1)
的前n项和.
解:an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3(裂项)
则
Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3(裂项求和)
=
(n-1)n(n+1)/3
小结:此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后,其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意:
余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。
2余下的项前后的正负性是相反的。
易错点:注意检查裂项后式子和原式是否相等,典型错误如:1/(3×5)=1/3-1/5(等式右边应当除以2)
附:数列求和的常用方法:
公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。(关键是找数列的通项结构)
1、分组法求数列的和:如an=2n+3n
2、错位相减法求和:如an=n·2^n
3、裂项法求和:如an=1/n(n+1)
4、倒序相加法求和:如an=
n
5、求数列的最大、最小项的方法:
①
an+1-an=……
如an=
-2n2+29n-3
②
(an>0)
如an=
③
an=f(n)
研究函数f(n)的增减性
如an=
an^2+bn+c(a≠0)
6、在等差数列
中,有关Sn
的最值问题——常用邻项变号法求解:
(1)当
a1>0,d<0时,满足{an}的项数m使得Sm取最大值.
(2)当
a1<0,d>0时,满足{an}的项数m使得Sm取最小值.
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
裂项相消法的八大类型
裂项相消法的八大类型:等差型、无理行、指数型、对数型。三角函数型、阶乘和组合数公式型、抽象型、混合型。
裂项法,这是分解与组合友局思想在数列求和中的具体应用。是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的。 通项分解(裂项)倍数的关系。通常用于代数,分数,有时候也用于整数。
裂项相消的公碧告激式
1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
1/(√daoa+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
n·n!=(n+1)!-n!
裂项法求和
(1)1/[n(n+1)]=(1/n)- [1/(n+1)]
(2)1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
(3)1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}
(4)1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
(5) n·n!=(n+1)!-n!
(6)1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]
(7)1/[√n+√(n+1)]=√(n+1)-√n
(8)1/(√n+√n+k)=(1/k)·[√(n+k)-√n]
数列求和的常用方法
1、分组法求数列的和:如an=2n+3n
2、错位相减法求和:如an=n·2^n
3、裂项法求和:如悔袜an=1/n(n+1)
4、倒序相加法求和:如an= n
5、求数列的最大、最小项的方法:
① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3
② (an>0) 如an=
③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= an^2+bn+c(a≠0)
6、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解:
(1)当 a1>0,d<0时,满足{an}的项数m使得Sm取最大值.
(2)当 a1<0,d>0时,满足{an}的项数m使得Sm取最小值.
7、对于1/n+1/(n+1)+1/(n+2)……+1/(n+n)的算式同样适用。
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